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一些定义

• 拆分数：
  设$n,r\in {\mathbb{Z}}^{+},$ 如果正整数$n_1,n_2,\cdots ,n_r$满足$$n=n_1+n_2+\cdots +n_r\text{\hspace{1em}(1)}$$则称$(1)$为正整数$n$的一个$r$拆分，$n_k$称为拆分的第$k$个部分。
• 完备拆分数：
  设$n\in {\mathbb{Z}}^{+},\pi (n)=n_1,n_2,\cdots \in \Pi (n)$，如果对于满足$1⩽m<n$的任何正整数$m$，拆分$\pi (n)$中恰有一个子集 { n j 1 , n j 2 , ⋯   } \left\{n_{j1}, n_{j2}, \cdots \right\} { nj1​,nj2​,⋯}是$m$的一个拆分，即 π ( m ) = { n j 1 , n j 2 , ⋯   } ∈ Π ( m ) \pi(m)=\left\{n_{j1}, n_{j2}, \cdots \right\}\in\Pi(m) π(m)={ nj1​,nj2​,⋯}∈Π(m)，则称$\pi (n)$是正整数$n$的一个完备拆分，记为$\pi ⟨n⟩$，并以$|\pi ⟨n⟩|$表示完备拆分$\pi ⟨n⟩$的部分数。

符号表示

约定：$p_0(0)=p_0[0]=1;p_0(n)=p_0[n]=0,n⩾1;p(0)=p[0]=1$
对所有不满足 $n⩾r⩾1,$ 约定 $p_r(n)=p_r[n]=0$ 。

特殊的拆分数

设 $n,r\in {\mathbb{Z}}^{+},$ 则$p_1(n)=p_n(n)=p_{n-1}(n)=1,p_2(n)=\lfloor \frac{n}{2}\rfloor$ 。

两个递推关系

1. 设 $n,r\in {\mathbb{Z}}^{+},$ 则当$n>r$时，有$$p_r(n)=\sum _{k=1}^r{p}_k(n-r);$$
   另一种表述：设 $n,r\in {\mathbb{Z}}^{+},$ 则有$$p_r(n+r)=\sum _{k=1}^r{p}_k(n).$$
2. 设 $n,r\in {\mathbb{Z}}^{+},$ 则$$p_r(n)=\sum _{k=1}^{\lfloor \frac{n}{r}\rfloor }{p}_{r-1}(n-rk+r-1),n>r⩾2.$$

一些定理

• $p(n)$一个宽松上界：$$p(n)<\frac{\pi }{\sqrt{6(n-1)}}\exp \left(\sqrt{\frac{2n}{3}}\pi \right)$$

• Hardy-Ramanujan Theorem:$$p(n)\sim \frac{1}{4n\sqrt{3}}\exp \left(\sqrt{\frac{2n}{3}}\pi \right),n\to \infty$$

• 完备拆分$p⟨n⟩$计算公式
  设$n\in {\mathbb{Z}}^{+},$ 且 $n+1=p_1^{{\alpha }_1}{p}_2^{{\alpha }_2}\cdots p_k^{{\alpha }_k},$ 其中 $p_1,p_2,\cdots ,p_k,$ 均为素数，令$m={\alpha }_1+{\alpha }_2+\cdots +{\alpha }_k,$ 则 $$p⟨n⟩=\sum _{t=1}^m\sum _{j=1}^t(-1{)}^{t-j}(\genfrac{}{}{0ex}{}{t}{j}\left)\prod _{i=1}^k\right(\genfrac{}{}{0ex}{}{j+{\alpha }_i-1}{{\alpha }_i})$$

• $n$ 的完备拆分 $\pi ⟨n⟩$ 的最小部分数 $\min |\pi ⟨n⟩|$
  设$n\in {\mathbb{Z}}^{+},$ $n+1=d_1{d}_2\cdots d_t,$ 其中$d_1,d_2,\cdots ,d_t$是大于1的正整数，则当$d_1,d_2,\cdots ,d_t$均为素数时，完备拆分$\pi ⟨n⟩$的部分数$|\pi ⟨n⟩|$取得最小值，即此时有$$\min |\pi ⟨n⟩|=d_1+d_2+\cdots +d_t-t=\sum _{i=1}^k{\alpha }_i(p_i-1).$$

• $n$ 的具有最小部分数的完备拆分数 $p_{min}⟨n⟩$
  $$p_{min}⟨n⟩=\frac{({\alpha }_1+{\alpha }_2+\cdots +{\alpha }_k)!}{{\alpha }_1!{\alpha }_2!\cdots {\alpha }_k!}$$

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